• Уважаемый посетитель!!!
    Если Вы уже являетесь зарегистрированным участником проекта "миХей.ру - дискусcионный клуб",
    пожалуйста, восстановите свой пароль самостоятельно, либо свяжитесь с администратором через Телеграм.

Высшая математика

Как вычислить интеграл от функции e^(2x) / (e^x + 1)^(0,25) ?
И, если можно, еще интеграл от 1 / (4 + x^2)^0,5?. Я знаю, что он табличный, но решение нужно показать.

(Отчего в тэге math при (4 + x^2) пропадает + ? )
 
1) \int{e^(2x)dx/((e^x+1)^(0.25))} = \int{(e^x*e^(x)*dx)/((e^x+1)^(0.25))} = |Замена;1+e^x=y;dy=e^x*dx;e^x=y-1|=\int{((y-1)*dy)/(<img src=^(0.25))}" src="http://graph.mixei.ru/Formula/formula.php?f=\int{((y-1)*dy)/((y)^(0.25))}"> = распадается на два табличных интеграла = 4/7*y^(7/4)-4/3*y^(3/4)+C = 4/21*(3*y-7)*y^(3/4)+C = 4/21*(-4+3*e^x)*(1+e^x)^(3/4)+C

2) \int{dx/\sqrt{4+x^2}}= |Замена;y=x+\sqrt{2^2+x^2};dy=(1+(2*x)/(2*\sqrt{2^2+x^2}))*dx=y/(\sqrt{2^2+x^2})*dx| = \int{(y*dx)/(y*\sqrt{2^2+x^2})} = \int{dy/y} = \ln|y|+C = \ln|x+\sqrt{2^2+x^2}|+C
Вот решение, если не знать, что он табличный
 
Trotil, спасибо тебе огромное! :)
Выяснилось, что я умножала на производную, вместо того чтоб делить.
Только можешь второй пример оформить с нормальным тэгом? Трудно разобрать середину.
 
Trotil, разобралась, спасибо :).
А можешь еще вот такой: (x^2*e^x)/((x+2)^2) ?
Не выходит разбить его по формуле сложных интегралов.
 
Если
Почему не получается?

\int{e^xdx/(x^2)}=-e^x/x+\int{e^xdx/x} (Положить u=e^x, dv=1/x^2);

\int{e^xdx/(x^2)}-\int{e^xdx/x}=-e^x/x
\int{e^x(1-x)dx/(x^2)}=-e^x/x


\int{(x^2*e^x)/((x+2)^2)} = |Замена;x+2=y;x=y-2;x^2=y^2-4x+4| = \int{((y^2-4x+4)*e^(y-2)*dy)/(y^2)} = 1/e^2*[\int{(y^2*e^y)/(y^2)*dy}+4\int{((1-y)*e^y)/(y^2)*dy}]= 1/e^2*[e^y-4*e^y/y]= = e^y/e^2*[1-4/y]=e^x*(x-2)/(x+2)+С

Проверка (возьмем производную):
d/dx*((x-2)/(x+2))=4/(x+2)^2
d/dx*(e^x*(x-2)/(x+2))=e^x((x-2)/(x+2)+4/(x+2)^2)=e^x*x^2/(x+2)^2, что и требовалось доказать
 
Я, вероятно, задам сейчас не самый умный вопрос - но каким образом иксовое выражение сократилось до квадрата икса в знаменателе?
Оттого, наверное, и не получалось - я брала за u дробь с иксами, она преобразовывалась, но не лучшим образом.
 
Если
Не совсем понял вопрос :) В каком выражении?

u=e^x, dv=(1/x^2)dx - взяли
du=e^x*dx, v = -(1/x)
\int{udv}=uv-\int{vdu}
\int{e^x(dx/(x^2))}=e^x(-1/x)-\int{(-1/x)*(e^x*dx)}
 
Это я понимаю :).
Но ты решаешь интеграл (e^x)/(x^2), а я мучаюсь с (e^x*x^2)/((x+2)^2).
Мне уже говорили, что решение сводится к е деленному на икс квадрат, но откуда оно берется? Если делить числитель и знаменатель на него, в знаменателе остается многочлен.
 
Если
Решение разбито на две часто, подготовительная и основная.

В основной части я произвел замену (x+2) на y, чтобы упростить интеграл. Соответственно интерграл таким образом можно свести к рассмотренному в предварительной части. Это стандартная практика, если например встречается \sqrt{x+3}, нужно его сначала свести к \sqrt{y}, а потом сводить к табличным интергралам
 
Я еще подумаю. Выходит, ты менял икс квадрат деленный на квадрат того выражения на единицу делённую на игрек... Уходить мне пора :). Спасибо тебе большое :).
 
Если
Я там дополнил. А ты еще подумай. Если что, я попробую другими словами объяснить )

Попробовал описать более общо принцип решения подобных интегралов, и прокомментировать шаги, почему именно так, а не иначе.

1) Сложные интегралы нужно раскладывать на сумму более простых интегралов

f(x) - какой-то многочлен или сумма дробей, тогда
\int{f(x)*e^x*dx} = ...+(a_(-1))*\int{1/x*e^x*dx}+a_0*\int{e^x*dx}+a_1*\int{x*e^x*dx}+...

Таким образом задача свелась к нахождению более простых интегралов \int{1/x*e^x*dx}, \int{x*e^x*dx} и подобных.

Важно(!), что таким образом мы можем раскладывать только многочлены-числители, а со знаменателями в общем случае так не получится. Например, 1/(x+2)<>1/x+1/2,\sqrt(x+2)<>\sqrt(x)+\sqrt(2)
Выход: вводить новую переменную - y=x+2, тогда знаменатель примет стандартный вид.

(e^x*x^2)/((x+2)^2) -> вводим новую переменную y=x+2 -> упрощается знаменатель, а других способов его привести к табличному вида нет.
При переходе к другой переменной в интеграле мы должны заменить все иксы на игреки, учитывая, что y=x+2. e^x=e^(y-2)=e^y/e^2, x^2=y^2-4*y+4. Полученный интеграл проще, т.к. мы приблизили его к табличному, и далее мы его разложили на три более простых и решаем каждый по отдельности.

Здесь есть только одна тонкость: выразив \int{e^xdx/(x^2)} через \int{e^xdx/(x^2)}=-e^x/x+\int{e^xdx/x} и подставив в исходное выражение, \int{e^xdx/x} в нем сократится и находить его не придется.
 
Вот с этим еще проблема. Я его решила c помощью табличной формулы, но производная не сходится.
Сам интеграл.
SQRT(2x^2+6x-2)
Мой ответ.
(2x+3)/4*SQRT(2x^2+6x-2)-13*SQRT(2)/8*ln(x+1,5+SQRT(x^2+1,5x-1))
Хотелось бы просто узнать, верен ли он :).
 
Да, с последним корнем я ошиблась.
Но откуда четверка после нат.логарифма?
 
Четверку я вынес сам, чтобы было похоже на твое решение.
Без преобразований под логарифмом будет
4x+6+2SQRT(2(2x^2+6x-2))
 
Войдите или зарегистрируйтесь для ответа.

Похожие темы

S
ВШЭ - Высшая Школа Экономики
Ответы
13
Просмотры
6K
Merimosedo
M
Trotil
  • Закреплено
Путеводитель по форуму "Математика"
Ответы
0
Просмотры
10K
Trotil
Trotil
D
1+1=3 – Книжная математика Макса Фрая!!!
Ответы
9
Просмотры
4K
...многоточие...
...многоточие...
Sonja Naimann
Мистическая математика (Пифагор)
2
Ответы
26
Просмотры
11K
Eleanor Rigby
E
Назад
Сверху