Геометрия

[Sensile]

axelf
Вот похожая задача, к ней чертеж и подсказки.
Стороны АB и BC основания прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равны 7 и 5 соответственно. Боковое ребро AA1 равно 3. Точки L M и K лежат на ребрах AD, A1B1, B1C1 так, что AL:AD = 3:5 A1K: A1B1 = 4:7 B1M:B1C1 = 2:5. Найдите объем пирамиды с вершиной K и основанием AMC1L.

В этой задаче основанием пирамиды является параллелограмм. Для нахождения площади надо найти сторону параллелограмма и высоту. Сторона AL легко находится, а высота МТ параллелограмма ищется из прямоугольного треугольника МРТ.
Для нахождения высоты пирамиды в образце надо опустить перпендикуляр из точки К на основание пирамиды. Но это основание лежит в плоскости АВ1С1Д. Поэтому надо найти расстояние от К до этой плоскости. Но таким расстоянием является длина перпендикуляра , опущенного из К на АВ1 (см выносной чертеж). Он легко находится. (Естественно, я не делаю здесь всех обоснований, только план. Если Вы приступили к задачам уровня С4, то обоснования должны сделать сами).

Основное отличие Вашей задачи от образца в том, что в Вашей задаче не даны измерения параллелепипеда, но можно обозначить AL=4x, LD=5x, AD=B1C1= 9х, А1К=2у, КВ1=3у, тогда А1В1=5y. АА1 можно обозначить например, z.

 

[Алина22]

Помогите плииз решить эту задачу,ес не трудно..не могу построить сечение: В прямоугольном параллелепипеде АBСDА1B1С1D1 точки M,P и S принадлежат ребру СD, грани СС1B1 соответственно. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью MPS.

 

[Trotil]

Берем точки P и S и проводим прямую через них. Получим две новые точки R и T на ребрах B1C1 и BC. Проводим MT и TL параллельно МT. Вот один из вариантов сечения.

 

[axelf]

А можно рисунок к первой задаче.

 

[Sensile]

axelf

 

[axelf]

А как найти высоту 2 пирамиды в 1 задаче.

 

[Sensile]

axelf
Я специально там пунктиром сделала подсказку
Плоскость ЕМКР перпендикулярна плоскости АВС, поэтому если мы будем из точки Т опускать перпендикуляр на ЕМКР, то он будет лежать в плоскости АВС и будет перпендикуляром к РК
Так вот, нужно через Т провести прямую, перпендикулярную к РК, она же будет перпендикуляром к ВС и рассмотреть пару подобных треугольников

 

[axelf]

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. На его боковых рёбрах AA1 и BB1 лежат точки M и P соответственно так, что AM : MA1 = 8 : 11, B1P : PB = 2 : 1. Во сколько раз объём данного параллелепипеда больше объёма пирамиды с вершиной в точке P, основанием которого является сечение данного параллелепипеда плоскостью BMD1?

 

[Sensile]

axelf

Сечение BMD1M'
Разбиваем пирамиду на две - DMBP и DM'BP. Объем каждой легко выражается через измерения параллелепипеда. Положение точек М и М' в принципе неважно.

 

[F@ncy]

Всем привет!
У меня вопрос по задачке из егэ 9го(наверное, совсем легкий):
"Найдите площадь правильного двенадцатиугольника, вписанного в окруж-ность радиуса 7."
Я нашла сторону через sin15 и r вписанной окр. через cos15.
S=р*r - тут получилась формула двойного угла - 2sin15cos15=sin30
Но нам говорили, что вообще тригонометрии в 9м нет, откуда тогда она в егэ?
Может, я не так совсем решала?

 

[Sensile]

F@ncy
Я не очень поняла Ваше решение. И меня смутила фраза "Я нашла сторону через sin15 и r вписанной окр." Дан-то радиус описанной окружности.
Тут можно без всякой тригонометрии. Рассмотрим треугольник, образованный одной из сторон 12-угольника и двумя радиусами описанной окружности. Он равнобедренный, угол при вершине равен 360/12=30 и боковые стороны равны 7. Площадь такого треугольника можно найти согласно теореме "Площадь треугольника равна половине произведения сторон на синус угла между ними". Поэтому она равна
Площадь всего 12-угольника будет в 12 раз больше.
UPD. В 9 классе в курсе геометрии по Атанасяну проходят следующие темы: Синус, косинус, тангенс, основное тригонометрическое тождество, формулы приведения.Теорема о площади(см. выше), теорема синусов, теорема косинусов, решение треугольников.

 

[F@ncy]

Sensile, спасибо! Я как-то сложно начала решать - по формулам правильных многоугольников. Вместо того, чтоб найти площадь треугольника, я стала икать его сторону(а=2R*sin180\n), высоту(радиус вписанный) через косинус 15 градусов...

 

[F@ncy]

Нам в школе говорили, что вообще проходят ее в 10м, но мы "неофициально" начали в 9м просто чтоб потом легче было

 

[SHELo4ka]

Срочно нужна задача...

Помогите пожалуйста! Очень нужна задача на расстояние от точки до прямой в четырехугольной пирамиде, с решением. Нужна 10 июня утром!!!

 

[Sensile]

SHELo4ka
Например, такая задача
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD угол наклона бокового ребра к плоскости основания равен 45 градусам, cторона основания равна 3. Найти расстояние от точки O пересечения диагоналей основания до бокового ребра SC (задача без всяких изысков).
Решение. Пирамида правильная - поэтому основание высоты пирамиды совпадает с точкой пересечения диагоналей, то есть SO - высота пирамиды. Так как сторона основания равна 3, то диагональ квадрата равна , а половинка диагонали .
Рассмотрим треугольник SOC. Угол наклона бокового ребра равен углу SCO и равен 45 градусам, значит, треугольник SOC - равнобедренный и SO=OC=. Можно найти по т. Пифагора SC. Рaсстояние от точки О до бокового ребра SC есть длина высоты ОН, опущенной из О на SC. Площадь треугольника SOC равна, с одной стороны, половине произведения катетов, а с другой - половине произведения высоты ОН на гипотенузу SC. Отсюда находим длину высоты и, следовательно, расстояние от О до SC

 

[SHELo4ka]

Sensile
Спасиба вам огромное!!! Вы мне очень очень помогли!!!!

 

[SHELo4ka]

Задачка!!!!

Наглею наверное, но вот еще не могли бы вы мне помочь

В основании пирамиды SABC лежит равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине C. Каждое боковое ребро пирамиды наклонено к плоскости основания под углом 45 градусов. На ребре SC взята точка F - середина этого ребра. Найти угол между прямой AF и плоскостью SBC.

Посмотреть вложение 27925

т.к все ребра равнонаклонены, точка S проецируется в середину AB - точка О (Центр описанной около ABC окружности). Тогда AO=OB=OC. Т.к. угол SAO=45*, угол SBC=45*, то треугольники ASO и SOB равнобедоенные.
AB=OB=OC=OS=a(2^1/2)/2. SC=a.
Теперь самое сложное построить угол!!! Как из т.А опустить перпендикуляр на плоскость (SCB)????

 

[Sensile]

SHELo4ka
Я сейчас ухожу, приду - подумаю

 

[Sensile]

Пока чертежи
(только что-то решаю разными способами - получаются разные ответы, так что надо за мной проверять)

Перпендикуляр, опущенный из точки А на плоскость (SBC), должен лежать в плоскости, проходящей через А и перпендикулярной плоскости (BSC).
Так как SA=SB=SC=AC=BC, то треугольники ASC и BSC - правильные. F -середина SC, поэтому AF и BF перпендикулярны SC (они не только медианы, но и высоты), откуда плоскость (AFB) перпендикулярна SC, а тогда и плоскости (AFB) и (BSC) перпендикулярны. Проведем в плоскости (AFB) перпендикуляр АК к их линии пересечения BF (см. выносной чертеж), тогда АК будет перпендикуляром и к самой плоскости (SBC) (можно доказать, что АК перпендикулярен плоскости и другим способом: АК перпендикуляр к BF по построению, SC перпендикулярна плоскости AFB, значит, перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, то есть SC перпендикулярна АК, таким образом АК перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости (SBC))
Итак, FА -прямая, FK - ее проекция на плоскость (SBC), искомый угол - это угол AFK, а он дополняет угл AFB до 180, значит их косинусы отличаются по формулам приведения только знаком.
Косинус же угла AFB можно найти из треугольника AFB по теореме косинусов(найдя сначала AF, BF и АВ).

 

[SHELo4ka]

Sensile Спасибо вам огроное!!!
Еще вот такая задачка:

Дан остроугольный треугольник АВС. Вписать в него квадрат, у которого две вершины лежат на стороне АС.

Очень нужно построение.