Она их не сохраняет. После установки патч, закачанный лончером, с компьютера удаляется. Чтобы патчи сохранить, проще всего их сперва вручную качать, куда удобно, а уже потом оттуда запускать. Можно, конечно, попробовать перехватить в процессе установки и сохранить в другое место, но это не всегда выходит.
Логи патча лежат в папке Temp, но в данном случае, я не очень понимаю, о каком логе идет речь. Как понять "и обновляется до последней версии, но вскоре выдает ошибку"? Так она обновляется до последней версии, а потом выдает ошибку при запуске, или пытается обновиться, но не может, т.к. в процессе обновления ошибку выдает? И что такое Extreme Edition?