ЕГЭ 2008

Trotil · 4 Авг 2008

Главное меню.

Trotil · 4 Авг 2008

Задания в сканах:

Trotil · 4 Авг 2008

Часть 1.

A1. Упростите выражение: $(@(-15*a)^{1,6})^2$ .

Ответы: 1) $225*a^{3,2}$ 2) $-30*a^{3,6}$ 3) $-225*a^{3,2}$ 4) $-30*a^{3,6}$

A2. Вычислите $\sqrt[4]{625*0,0081}$ .

Ответы: 1) 0,015 2) 5,3 3) 0,75 4) 1,5

A3. Вычислите $\log_6@(180)-\log_6@(5)$ .

Ответы: 1) 30 2) 2 3) 3 4) 6

A4. На одном из следующих рисунков изображен график четной функции. Укажите этот рисунок.

A5. Найдите производную функции $y=x^{12}-7\sin(x)$
Ответы:
1) $y'=12*x^{11}-7*\cos(x)$
2) $y'=x^{13}/13+7*\cos(x)$
3) $y'=x^{11}-7*\cos(x)$
4) $y'=12*x^{11}+7*\cos(x)$

A6. Найдите множество значений функции: y=@(0.9)^x+7

Ответы: 1) $(0@;\%7)$ 2) $[7@;\%+\infty)$ 3) $[7@;\%7,9)$ 4) $(7@;\%\infty)$

A7. На рисунке изображены графики функций y=f(x) и y=g(x), заданных на промежутке [-3; 6]. Укажите те значения x, для которых выполняется неравенство f(x)<=g(x)

Ответы:
1) $[-1@;\%2]$
2) $[-3@;\%-2]\cup[3@;\%6]$
3) $[-3@;\%-1]\cup[2@;\%6]$
4) $[-2@;\%3]$

A8. Решите неравенство @(5x-15)/@((x+6)(x-8))>0

Ответы:

1) $(-\infty@;\%6)\cup(3@;\%8)$
2) $(-\infty@;\%-6)\cup(-6@;\%3)$
3) $(-6@;\%3)\cup(8@;\%+\infty)$
4) $(3@;\%8)\cup(8@;\%+\infty)$

A9. Решите уравнение: $\tg(4x)=\sqrt{3}$

Ответы:
1) $4\pi/3+4*\pi*n@;\%\%n\%\in%@Z$
2) $\pi/12+\pi*n@;\%\%n\%\in%@Z$
3) $\pi/12+\pi/4*n@;\%\%n\%\in%@Z$
4) $\pi/3+\pi*n@;\%\%n\%\in%@Z$

A10. Решите неравенство: 2^@(3x-7)>=4

Ответы:
1) $[@(@(5/3)@;\%+\infty))$
2) $[3@;\%+\infty)$
3) $(-\infty@;\%3]$
4) $(3@;\%+\infty)$

Часть B

B1. Вычислите $\sqrt[4]{405}/\sqrt[4]{5}$

B2. Решите уравнение: $@(5*4)^@(\log_4x)=7,2-3x$

B3 Найдите значение выражение $\sqrt{11}*\cos(@a)$ , если $\sin(@a)=\sqrt{2/(11)}$ , $\pi/2<@a<\pi$

B4. Решите уравнение $\sqrt[4]{10x-14}+\sqrt[8]{10x-14}-6=0$
(уравнение может иметь более одного решения)

B5. Функция y=f(x) определена на промежутке (-3; 6). На рисунке изображен график ее производной. Укажите точку максимума функции y=f(x) на промежутке (- 3; 6).

B6. Найдите значение выражения $\log_@(1/5)(5\sqrt{5}+2\sqrt{30})+\log_@(1/5)(5\sqrt{5}-2\sqrt{30})$ .

B7. Найдите количество целочисленных решений неравенства:

$@(8^x-64)/@(\sqrt{64-x^2}+8,1)<0$

B8. Функция y=f(х) определена на всей числовой прямой и является периодической с периодом 5. На промежутке [-6; -I) она задается формулой f(x)=2-|3+х|. Найдите значение выражения 5f(-25)-2f(13).

B9. Подарочный набор состоит из трех сортов конфет. Массы конфет первого, второго и третьего сортов в этом наборе относятся как 2:7:15. Массу конфет первого сорта увеличили на 9%, а второго но 6%. Па сколько процентов надо уменьшить массу конфет третьего сорта, чтобы масса всего набора не изменилась?

B10. Высота цилиндра равна 54. а радиус основания равен 15. На окружности основания отмечены точки А, В н С так, что АВ=18, СА=СВ и угол ACB < 90^o. Отрезок СС₁ - образующая цилиндра. Найдите тангенс угла между плоскостью основания и плоскостью АВС₁.

B11. Точка М лежит на стороне ВС параллелограмма ABCD так, что ВМ:MС=1:2, Прямая DM пересекает луч АВ в точке Р, а плошадь треугольника ВРМ равна 1. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

C1. Найдите наименьшее значение функции
f(x) = (0,5x-3)^4-32(0,5x-3)^2

при

C2. Найдите все значения x, при каждом из которых выражения $\sin(4x)/\tg(2x)$ и $@(\cos^4(x)-\sin^4(x))/\tg(2x)$ принимают равные значения.

Часть 3.

С3. Найдите все знамения а, при каждом из которых неравенство
$@(a-(\sin(\sqrt{x-8}-1)))/@((\log_2x+3\sqrt{10}\log_x2-4)-a)>=0$ не имеет решений.

С4. Дан конус с вершиной М. радиус основания которого равен $\sqrt{155}$ . В основание этого конуса вписан четырехугольник ABCD так, что углы
ВМA, СМВ, DMC и AMD равны

каждый, причем $\sin(@a/2)=3/7$ . На дуге ВС
окружности основания конуса, не содержащей точки А, выбрана точка F так, что объем пирамиды MABFCD наибольший. Найдите расстояние от точки F до плоскости МАВ.

С5. Для чисел a₁,a₂,...,a₂₈ верны равенства a_n+1=f(a_n), n=1,2,..,27.
Найдите a₇*a₅, если известно, что a₂₈=0 и
$f(x)=@({(@(@(3x-6)/@(x-3))@,\;x<3;\sqrt[5]{@(x-4)/@(x-2)}+\sqrt{@(27x-80)/@(3x-7)}@,\;x>=3))$

Trotil · 4 Авг 2008

Решения части A:

A1: $(@(-15*a)^{1,6})^2$ = $(-15)^2*a^{1,6*2}$ = $225*a^{3,2}$

A2: $\sqrt[4]{625*0,0081}$ = $\sqrt[4]{625}*\sqrt[4]{0,0081}$ = 5*0.3

=

A3: $\log_6@(180)-\log_6@(5)$ = $\log_6@(180/5)$ = $\log_6@(36)$ = $\log_6@(6^2)$ = $2*\log_6@(6)$ =

A4: График четной функции симметричен относительно оси OY, таким свойством обладает график, изображенный на рис. 2)

A5: $y'=(x^{12}-7\sin(x))'$ = $(x^{12})'-(7\sin(x))'$ = $12*x^{11}-7\cos(x)$

Trotil · 4 Авг 2008

Решения части A (продолжение)

A6: Множеством значений y_1=@(0.9)^x

является множество $(0@;\%+\infty)$ . Множество значений y=@(0.9)^x+7

является множество значений y_1

, смещенное на 7 единиц вверх. Поэтому множество значений y=@(0.9)^x+7

- это $(7@;\%+\infty)$

A7: Неравенство выполняется для тех значений х, для которых график функции y=g(x) лежит выше графика функции y=f(x). Поскольку неравенство нестрогое, то решениями неравенства являются и абсциссы точек пересечения этих графиков. Из рисунка видно, что неравенство f(x)<=g(x)

выполняется для $x\%\in%[-1@,2]$ .

A8:

Неравенство удобно решить с помощью числовой прямой.
1) Находим все значения уравнения, обращающего в нуль числитель. Поскольку неравенство строгое, то обозначаем данные числовые значения выколотыми кружочками.
2) Находим все значения уравнения, обращающего в нуль знаменатель. Эти значения искомая функция не может принимать, поэтому обозначаем эти точки пустыми кружочками, выколотыми.
3) Поскольку все корни 1-ой кратности, достаточно определить знак в одном каком-либо промежутке, остальные знаки определяются знакочередованием.
Итоговая картинка:

Так как нас интересуют те значения х, при которых @(5x-15)/@((x+6)(x-8))>0

, то выбираем промежутки, над которыми стоит знак +.
Ответ: $(-6@;\%3)\cup(8@;\%+\infty)$

A9: $\tg(4x)=\sqrt{3}$

$4x=\arctg(\sqrt{3})+\pi*n@;\%\%n\%\in%@Z$
$4x=\pi/3+\pi*n@;\%\%n\%\in%@Z$
$x=\pi/12+\pi/4*n@;\%\%n\%\in%@Z$

A10: 2^@(3x-7)>=4

Ответ: $[3@;\%+\infty)$

Trotil · 4 Авг 2008

B1: $\sqrt[4]{405}/\sqrt[4]{5}$ = $\sqrt[4]{405/5}$ = $\sqrt[4]{81}$ =

B2: $@(5*4)^@(\log_4x)=7,2-3x$
Это равносильно

{@(5x=7@,2-3x;x>0)

Ответ: x=0,9

B3: Поэтапно.
$\pi/2<@a<\pi$ => $-1<\cos(@a)<0$
$\sqrt{11}*\cos(@a)$ = $\sqrt{11}*(-\sqrt{1-\sin^2(@a)})$ = $\sqrt{11}*(-\sqrt{1-(\sqrt{2/11})^2})$ = $\sqrt{11}*(-\sqrt{1-2/11})$ = $\sqrt{11}*(-\sqrt{11-2}/\sqrt{11})$ = $-\sqrt{9}$ =

.

B4: $\sqrt[4]{10x-14}+\sqrt[8]{10x-14}-6=0$

Здесь удобно сделать замену: $y=\sqrt[8]{10x-14}$ . Тогда уравнение примет вид:

y^2+y-6=0

Корни y=2, y=-3

Заметим, что $\sqrt[8]{10x-14}>=0$ , поэтому $\sqrt[8]{10x-14}=-3$ не имеет решений.

Рассмотрим второй корень: $\sqrt[8]{10x-14}=2$
${@(10x-14=2^8;10x-14>0)$

{@(10x=270;10x>=14)

Ответ: x=27.

Trotil · 4 Авг 2008

B5:Вспомним следующие факты:
1)х=с - точка максимума, если при переходе через нее производная меняет знак с + на -;
2)х=с - точка минимума, если при переходе через нее производная меняет знак с - на + (здесь везде х=с принадлежит области определения функции y=f(x)).
В данном случае производная f'(x) меняет знак в точках х=-1 и х=2 , при этом с + на – она меняет в точке х=2.

х=2 является точкой максимума функции y=f(x) .

B6: $\log_@(1/5)(5\sqrt{5}+2\sqrt{30})+\log_@(1/5)(5\sqrt{5}-2\sqrt{30})$ = $\log_@(1/5)((5\sqrt{5}+2\sqrt{30})*(5\sqrt{5}-2\sqrt{30}))$ = $\log_@(1/5)(125-120)$ = $\log_@(1/5)(5)$ = $-\log_@(1/5)(1/5)$ =

B7: Найдите количество целочисленных решений неравенства:

$@(8^x-64)/@(\sqrt{64-x^2}+8,1)<0$

Знаменатель всегда будет >0 и определен на отрезке [-8, 8]. Числитель меняет свое значение с отцательного на положительное в точке x=2: 8^x-64<0

,

Поэтому функция принимает отрицательные значения только на отрезке [-8, 2). Целочисленными точками из этого отрезка являются -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1. Их количество равно 10.

Trotil · 7 Авг 2008

B8: Функция y=f(х) определена на всей числовой прямой и является периодической с периодом 5. На промежутке [-6; -I) она задается формулой f(x)=2-|3+х|. Найдите значение выражения 5f(-25)-2f(13).

Ответ можно получить без построения чертежа.
Если период функции =5, то f(-25) = f(-25+5k) = f(-25+5*4) = f(-5); f(13) = f(13 +5k) = f(13 + 5*(-3)) = f(-2).

f(-5) = 2 - |3+(-5)| = 2 - | -2 | = 2 - 2 = 0
f(-2) = 2 - |3+(-2)| = 2 - | 1 | = 2 - 1 = 1

5f(-25)-2f(13) = 5f(-5)-2f(-2) = 5*0 - 2*1 = -2.

B9: Для удобства массу конфет первого, второго и третьего сорта можно обозначить за x.y,z кг. Тогда:

Массы конфет первого, второго и третьего сортов в этом наборе относятся как 2:7:15.

x:y:z=2:7:15
x:y = 2:7
y:z=7:15

Или 7x=2y, 15y=7z.

Массу конфет первого сорта увеличили на 9%, а второго но 6%. Па сколько процентов надо уменьшить массу конфет третьего сорта, чтобы масса всего набора не изменилась?

Другими словами 1.09x + 1.06y +az = x + y + z
и необходимо найти a.

Выразим x и z через y и соркатим его:

1.09x+1.06y+az=x+y+z

1.09(2y/7)+1.06y+a(15y/7)=(2y/7)+y+(15y/7)

Отсюда a=0.96. Это значит, что массу конфет нужно уменьшить на 4%.

B10. Высота цилиндра равна 54. а радиус основания равен 15. На окружности основания отмечены точки А, В н С так, что АВ=18, СА=СВ и угол ACB < 90^o. Отрезок СС₁ - образующая цилиндра. Найдите тангенс угла между плоскостью основания и плоскостью АВС₁.

Пусть D – середина АВ (тогда AD=DB=9 ). Соединим точку С с точкой D. Так как CA=CB, то CD одновременно высота треугольника АВС . Окружность основания цилиндра описана около треугольника АВС, поэтому центр О этой окружности лежит на серединном перпендикуляре к отрезку АВ, то есть О лежит на прямой CD. Так как по условию $\angleАСВ<90^0$ , то О лежит на отрезке CD, а не на его продолжении. Соединим точку с D. C_1D

- наклонная, CD – ее проекция и так как $CD\perpAB$ , то по теореме о трех перпендикулярах $C_1D\perpAB$ . А значит, $\angleC_1DC$ - линейный угол двугранного угла между плоскостью основания и плоскостью AC_1B

(то есть тот угол, который мы хотим найти).
Рассмотрим треугольник AOD: $\angle$ ADO=90, AO=15, AD=9. Тогда по теореме Пифагора OD=12, а значит, CD=27.
$tg\angleC_1DC=CC_1/{CD}=2$ .
Ответ: 2.

B11. Точка М лежит на стороне ВС параллелограмма ABCD так, что ВМ:MС=1:2, Прямая DM пересекает луч АВ в точке Р, а площадь треугольника ВРМ равна 1. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Trotil · 7 Авг 2008

C1: Найдите наименьшее значение функции
f(x) = (0,5x-3)^4-32(0,5x-3)^2

при

Для начала нужно определить отрезок, на котором производится исследование функции:

|х-7|<=3

или $x\%\in%[4@;\;10]$

Введем замену y= 0,5x-3
Тогда: $x\%\in%[4@;\;10]$ перейдет в $x\%\in%[-1@;\;2]$ (поскольку замена линейна) и задача свелась к нахождению наименьшего значения функции F (y)

=

на отрезке [-1, 2]
F' (y)

=

=

= 0
Критические точки: y_1=-4

,

,

. Промежутку [-1,2] принадлежит только одна из этих точек y_2=0

. Найдем значения функции в этой точке и на концах промежутка.
F(-1)=-31
F(0)=0
F(2)=-112
Таким образом, наименьшее значение функции на данном промежутке равно -112.

C2: Найдите все значения x, при каждом из которых выражения $\sin(4x)/\tg(2x)$ и $@(\cos^4(x)-\sin^4(x))/\tg(2x)$ принимают равные значения.

Решение:
1) Упростим выражение:

$\sin(4x)/\tg(2x)=@(\cos^4(x)-\sin^4(x))/\tg(2x)$
$\sin(4x)/\tg(2x)-@(\cos^4(x)-\sin^4(x))/\tg(2x)=0$
$@(2\sin(2x)\cos(2x)-(\cos^2(x)-\sin^2(x))(\cos^2(x)+\sin^2(x)))/(\tg(2x)=0$
$@(2\sin(2x)\cos(2x)-\cos(2x))/\tg(2x)=0$
$@(2cos(2x)*(\sin(2x)-1/2))/\tg(2x)=0$

Решением уравнения будет $@(2cos(2x)*(\sin(2x)-1/2))=0$ (1) за вычетом таких точек, что $\tg(2x)=0$ и $\tg(2x)$ не определен (2) (условия (2) выполняются в случае, когда sin2x и cos2x не равны 0).
Поэтому данное уравнение равносильно уравнению:
$\sin(2x)-1/2=0$ , откуда $x=(-1)^k*\pi/12+p/2*k$

Trotil · 7 Авг 2008

Решение в процессе написания
Пока что можно воспользоваться вот этим решением

C3: Найдите все знамения а, при каждом из которых неравенство
$@(a-(3\sin(\sqrt{x-8}-1)))/@((\log_2x+3\sqrt{10}\log_x2-4)-a)>=0$ не имеет решений.

Предварительно исследуем функции

$@(a-(3\sin(\sqrt{x-8}-1)))$ и $(\log_2x+3\sqrt{10}\log_x2-4)-a$ .

Очевидно, что первая будет знакопостоянна при a>=2, а у второй минимум в точке $x=2^@(\sqrt(3)*10^{1/4})~~8.46$ . Значение минимума при a>=2

составляет <=0.16 единиц.

Для сохранения знака неравенства при любом x в области определения $[8@;\infty])$ неоходимы одно двух состояний:

1) Числитель и знаменатель принимают равные знаки на всей области определения
2) Числитель и знаменатель знакопостоянен (частный случай первого)

Второе условие будет выполняться при $2<=a<2^@(\sqrt(3)*10^{1/4})-4$ .

Первое условие может быть выполнено тогда и только тогда, когда

Trotil · 8 Авг 2008

С4. Дан конус с вершиной М. радиус основания которого равен $\sqrt{155}$ . В основание этого конуса вписан четырехугольник ABCD так, что углы
ВМA, СМВ, DMC и AMD равны

каждый, причем $\sin(@a/2)=3/7$ . На дуге ВС
окружности основания конуса, не содержащей точки А, выбрана точка F так, что объем пирамиды MABFCD наибольший. Найдите расстояние от точки F до плоскости МАВ.

Trotil · 8 Авг 2008

С5 Для чисел a₁,a₂,...,a₂₈ верны равенства a_n+1=f(a_n), n=1,2,..,27.
Найдите a₇

a₅, если известно, что a₂₈=0 и
$f(x)=@({(@(@(3x-6)/@(x-3))@,\;x<3;\sqrt[5]{@(x-4)/@(x-2)}+\sqrt{@(27x-80)/@(3x-7)}@,\;x>=3))$

Sensile · 27 Авг 2008

Далее приведены решения составителей заданий части C из других вариантов ЕГЭ-2008, а также критерии оценивания заданий этой части экзамена.
С1.

С2.

С3.

С4.

Sensile · 27 Авг 2008

С5.

ЕГЭ 2008

Trotil

Команда "У.М."

Trotil

Команда "У.М."

Trotil

Команда "У.М."

Trotil

Команда "У.М."

Trotil

Команда "У.М."

Trotil

Команда "У.М."

Trotil

Команда "У.М."

Trotil

Команда "У.М."

Trotil

Команда "У.М."

Trotil

Команда "У.М."

Trotil

Команда "У.М."

Trotil

Команда "У.М."

Sensile

Участник

Sensile

Участник

Похожие темы