Семь величайших математических загадок тысячелетия

[Sensile]

Всем известно имя Григория Перельмана, решившего одну семи величайших математических загадок тысячелетия (гипотезу Пуанкаре) и занявшего в связи с этим 9 место в списке живых гениев (см. также тут)
Задача или гипотеза Пуанкаре относится к числу семи важнейших математических проблем тысячелетия, за решение каждой из которых Математический институт Клэя (Clay Mathematics Institute) назначил премию в один миллион долларов.
Список тысячелетия.
8 августа 1900 года на международном математическом конгрессе в Париже математик Дэвид Гилберт (David Hilbert) изложил список проблем, которые, как он полагал, предстояло решить в ХХ веке. В списке было 23 пункта. Двадцать один из них на данный момент решены. Последней решенной проблемой из списка Гилберта была знаменитая теорема Ферма , с которой ученые не могли справиться в течение 358 лет. В 1994 году свое решение предложил британец Эндрю Уайлз. Оно и оказалось верным.
По примеру Гилберта в конце прошлого века многие математики пытались сформулировать подобные стратегические задачи на ХХI век. Один из таких списков приобрел широкую известность благодаря бостонскому миллиардеру Лэндону Клэю (Landon T. Clay). В 1998 году на его средства в Кембридже (Массачусетс, США) был основан Математический институт Клэя (Clay Mathematics Institute) и установлены премии за решение ряда важнейших проблем современной математики. 24 мая 2000 года эксперты института выбрали семь проблем - по числу миллионов долларов, выделенных на премии. Список получил название Millennium Prize Problems.
Далее чуть подробнее об этих проблемах.
I. Уравнение Навье-Стокса о турбулентных потоках, 1822 [гидроаэродинамика].
Читать дальше...

Если плыть в лодке по озеру, то возникнут волны, а если лететь в самолете, в воздухе возникнут турбулентные потоки. Предполагается, что эти и другие явления описываются уравнениями, известными как уравнения Навье - Стокса. Уравнения Навье — Стокса являются одними из важнейших в гидродинамике и применяются в математическом моделировании многих природных явлений и технических задач. Названы по имени французского физика Луи Навье и британского математика Джорджа Стокса.
До сих пор решения этих уравнений найдены лишь в некоторых частных случаях. В настоящее время существует несколько частных видов уравнений, которые решены в аналитическом виде. В остальных случаях используется численное моделирование.
Одним из применений системы уравнений Навье-Стокса является описание течений в мантии Земли («проблема Динамо»).
Вариации уравнения Навье-Стокса используются для описания движения воздушных масс атмосферы, в частности, при формировании прогноза погоды.
Решение этих уравнений позволит существенно изменить способы проведения гидро- и аэродинамических расчетов.
Подробнее здесь

II. Гипотеза Римана, 1859 [теория чисел].
Читать дальше...

В 1900 Давид Гильберт включил гипотезу Римана в список 23 нерешённых проблем как часть восьмой проблемы совместно с гипотезой Гольдбаха.
Считается, что распределение простых чисел среди натуральных не подчиняется никакой закономерности. Однако немецкий математик Риман высказал предположение, касающееся свойств последовательности простых чисел. Если гипотеза Римана будет доказана, то это приведет к революционному изменению наших знаний в области шифрования и к невиданному прорыву в области безопасности Интернета.
Большинство математиков верят, что гипотеза верна. На 2004 год проверены более первых решений
Знаменит ответ Гильберта на вопрос о том, каковы будут его действия, если он по какой-то причине проспит пятьсот лет и вдруг проснется. Математик ответил, что самым первым делом он спросит была ли доказана гипотеза Римана.

III.Гипотеза Пуанкаре, 1904 [топология или геометрия многомерных пространств]
Читать дальше...

Проблема Пуанкаре относится к области так называемой топологии многообразий - особым образом устроенных пространств, имеющих разную размерность. Двухмерные многообразия можно наглядно представить себе, например, на примере поверхности трехмерных тел - сферы (поверхности шара) или тора (поверхности бублика).
Легко вообразить, что произойдет с воздушным шариком, если его деформировать (изгибать, скручивать, тянуть, сжимать, пережимать, сдувать или надувать). Ясно, что при всех вышеперечисленных деформациях шарик будет изменять свою форму в широких пределах. Однако мы никогда не сможем превратить шарик в бублик (или наоборот) без нарушения непрерывности его поверхности, то есть не разрывая. В этом случае топологи говорят, что сфера (шарик) негомеоморфна тору (бублику). Это означает, что данные поверхности невозможно отобразить одну на другую. Говоря простым языком, сфера и тор различны по своим топологическим свойствам. А поверхность воздушного шарика при всевозможных его деформациях гомеоморфна сфере, равно как поверхность спасательного круга - тору. Иными словами, любая замкнутая двумерная поверхность, не имеющая сквозных отверстий, обладает теми же топологическими свойствами, что и двухмерная сфера.
Проблема Пуанкаре утверждает то же самое для трехмерных многообразий (для двухмерных многообразий, таких как сфера, это положение было доказано еще в XIX веке). Как заметил французский математик, одно из важнейших свойств двухмерной сферы состоит в том, что любая замкнутая петля (например, лассо), лежащая на ней, может быть стянута в одну точку, не покидая при этом поверхности. Для тора это справедливо не всегда: петля, проходящая через его отверстие, стянется в точку либо при разломе тора, либо при разрыве самой петли. В 1904 году Пуанкаре высказал предположение, что если петля может стягиваться в точку на замкнутой трехмерной поверхности, то такая поверхность гомеоморфна трехмерной сфере. Доказательство этой гипотезы оказалось чрезвычайно сложной задачей.

Сразу уточним: упомянутая нами формулировка проблемы Пуанкаре говорит вовсе не о трехмерном шаре, который мы можем представить себе без особого труда, а о трехмерной сфере, то есть о поверхности четырехмерного шара, который представить себе уже гораздо труднее. Но в конце 1950-х годов неожиданно выяснилось, что с многообразиями высоких размерностей работать гораздо легче, чем с трех- и четырехмерными. Очевидно, отсутствие наглядности - далеко не главная трудность, с которой сталкиваются математики в своих исследованиях.

Задача, подобная проблеме Пуанкаре, для размерностей 5 и выше была решена в 1960 году Стивеном Смэйлом (Stephen Smale), Джоном Стэллингсом (John Stallings) и Эндрю Уоллесом (Andrew Wallace). Подходы, использованные этими учеными, оказались, однако, неприменимы к четырехмерным многообразиям. Для них проблема Пуанкаре была доказана лишь в 1981 году Майклом Фридманом (Michael Freedman). Трехмерный же случай оказался самым сложным; его решение и предлагает Григорий Перельман.

Специалисты считают, что решение проблемы Пуанкаре позволит сделать серьезный шаг в математическом описании физических процессов в сложных трехмерных объектах и даст новый импульс развитию компьютерной топологии. Метод, который предлагает Григорий Перельман, приведет к открытию нового направления в геометрии и топологии.

IV.Гипотеза Ходжа, 1941 [алгебра, топология?].
Читать дальше...

Центральное понятие, предопределяющее структуру подавляющего большинства исследований в алгебраической геометрии, - это понятие инварианта. Идею инвариантов понять легко. Предположим, что есть два объекта (в данном случае - два множества решений тех или иных уравнений), и нужно выяснить, равны ли они. Сделать это очень сложно, если вообще возможно, - как сравнивать? Но можно установить некоторые свойства объектов, и если эти свойства окажутся не идентичными, то и исходные объекты, очевидно, не равны. Например, проверить, совпадают ли два текста, можно, сравнив их объем. Если размер текстов отличается - в них можно и не заглядывать. В алгебраической геометрии одними из простейших инвариантов являются размерность или связность искомого множества.
Обратное, разумеется, неверно: из равенства двух инвариантов нельзя ничего заключить о равенстве исходных объектов. Но и такое частичное знание - уже хорошо. А полное счастье настанет, если все же удастся доказать обратное утверждение (иными словами, если избранный набор инвариантов будет однозначно задавать исходный объект). Гипотеза Ходжа - как раз одно из таких заманчивых утверждений. Если она окажется верной, изучение большого и сложного класса алгебраических многообразий (так называют множества, составленные из кусочков, каждый из которых является множеством решений каких-либо полиномиальных уравнений) фактически сведется к изучению гораздо более простых объектов.
Теперь о текущем статусе гипотезы. В предыдущих статьях мы говорили о гипотезе Римана и уравнении Навье-Стокса. В гипотезу Римана верят все математики. В единственность решения уравнений Навье-Стокса - тоже (по крайней мере, при достаточных для практических применений условиях). Гипотеза Ходжа выбивается из этого ряда. Долгое время верили, что она верна - но доказать это никак не удавалось. В последние годы многие математики предположили, что доказательство не удается найти просто потому, что гипотеза неверна - но контрпримеров пока построить тоже не удалось. Никаких численных экспериментов в этой задаче провести невозможно. Утверждение гипотезы доказано для ряда частных случаев, но на то они и частные. Если же контрпример будет построен, вряд ли он будет иметь очень простой вид. В общем, гипотеза Ходжа пока что открыта со всех сторон.
Подробнее здесь.

V. Теория Янга-Миллса [связь геометрии с квантовой физикой], 1954.
Читать дальше...

Была предложена в 1954 году Чж. Янгом (Yang) и Р. Миллсом (Mills), однако долгое время рассматривалась лишь как математические изыски, не имеющие отношения к реальности. Несмотря на это, именно на основе теорий Янга — Миллса в 1970-х годах были созданы две краеугольные теории Стандартной Модели в физике элементарных частиц: квантовая хромодинамика (теория сильных взаимодействий) на основе группы SU(3) и теория электрослабых взаимодействий на основе группы SU(2).
Уравнения квантовой физики описывают мир элементарных частиц. Физики Янг и Миллс, обнаружив связь между геометрией и физикой элементарных частиц, написали свои уравнения. Тем самым они нашли путь к объединению теорий электромагнитного, слабого и сильного взаимодействий. Из уравнений Янга-Миллса следовало существование частиц, которые действительно наблюдались в лабораториях, поэтому теория Янга - Миллса принята большинством физиков несмотря на то, что в рамках этой теории до сих пор не удается предсказывать массы элементарных частиц.
Нелинейность уравнений Янга — Миллса делает их очень сложными для решения. В режиме малой константы связи эти уравнения удается решить приближенно в виде ряда теории возмущений, однако как решить эти уравнения в режиме сильной связи, пока неизвестно. Неизвестно также, как именно эта нелинейность приводит к наблюдаемому в нашем мире конфайнменту в сильных взаимодействиях

VI. Гипотеза Берча и Свиннертона-Дайера, 1960 [алгебра и теория чисел?].
Читать дальше...

Связана с описанием множества решений некоторых алгебраических уравнений от нескольких переменных с целыми коэффициентами. Примером подобного уравнения является выражение [Гипотеза Пьера Ферма - частный случай гипотезы Берча и Свиннертона-Дайера?] Подробнее здесь

VII. Гипотеза Кука, 1971 (Равенство классов P и NP)[математическая логика и кибернетика]
Читать дальше...

Допустим, находясь в большой компании, Вы хотите убедиться, что там же находится Ваш знакомый. Если Вам скажут, что он сидит в углу, то Вам достаточно доли секунды, чтобы, бросив взгляд, убедиться в истинности информации. В отсутствии этой информации Вы будете вынуждены обойти всю комнату, рассматривая гостей.
Точно так же, если кто-то сообщит Вам, что число 13717421 можно представить, как произведение двух меньших чисел, непросто быстро убедиться в истинности информации, но если Вам сообщат, что исходное число можно разложить на множители 3607 и 3803, то это утверждение легко проверяется с помощью калькулятора.
Это примеры иллюстрируют общее явление: решение какой-либо задачи часто занимает больше времени, чем проверка правильности решения. Стивен Кук сформулировал проблему: может ли проверка правильности решения задачи быть более длительной, чем само получение решения, независимо от алгоритма проверки.
Эта проблема является одной из нерешенных проблем логики и информатики. Ее решение могло бы революционным образом изменить основы криптографии, используемой при передаче и хранении данных.
(см. также здесь)

По материалам статьи М. Витебского

 

[*fashion_victim]

дааа...хотелось бы всё это понять, но я в математике просто ноль..так что..увы

 

[Pacman]

Интересно было почитать. Спасибо большое. Я вроде как математик, но, к своему стыду, далеко не о всех этих проблемах знал.

Гипотезы Пуанкаре и Римана, конечно, великолепны
Сколько фактов уже доказано по модулю верности гипотезы Римана? Очень немало, кажется!

 

[Sensile]

К сожалению, я знаю об этих проблемах поверхностно.
О гипотезе Римана то, что читала в Википедии и Компьютерре.
Последнее, что мне о ней известно, что американский математик Сян-Джин Ли заявил о том, что доказал гипотезу Римана, но впоследствии Аланом Конном в нем была найдена ошибка и доказательство было аннулировано.

 

[Pacman]

Это частое явление. Помните как с теоремой Ферма было

 

[Sensile]

А сколько попыток было доказать на наивном уровне !
На форуме dxdy полно таких псевдодоказательств. Удивляюсь терпению тамошних решателей..