Помощь в элементарщине

[KurtBandura]

Доброго времени суток, дорогие форумчане!

Начну немного издалека. Поступил на гуманитарную специальность и думал, что с математикой больше не увижусь и никогда она мне не понадобится. Причина в том, что не везло с учителями + возникновение всяких психологических барьеров, связанных с этим, немного лени и т.д. Разбираться в причинах "запущенности" уже нет смысла.
Теперь я на 3 курсе; жизнь решила сыграть злую шутку и получилось так, что мне ООООЧЕНЬ нужна математика. Зачем она нужна мне оказалась - объяснять очень долго.
Пошарившись в книжках и интернете, решил искать тот самый, первый пробел, возникший в школе, из-за которого все остальное строение науки у меня в голове рушится. Нашел, кстати, относительно быстро. Напоролся я на него, когда тупо задал себе вопрос "Почему?".
Да, оговорюсь сразу - не смейтесь, пожалуйста, и не пишите, что я тупой гуманитарий (что, возможно, правда), а если можете, постарайтесь мне помочь.
Вся причина в том, что я не понимаю, видимо, операции деления.
Началось все с вспоминания формулы пути. S =v*t. Тут все понятно. t = S/v. Тут ушел в ступор, но быстро врубил, что так мы просто находим один из сомножителей по известному сомножителю и произведению. И то, скажу честно, полного понимания "Ага, врубил", нету.
И, напоровшись на формулу расчета среднего арифметического, я уже был просто на грани истерики. Классе этак в 3 или 5 нам ее просто сказали и пользоваться ей умею. Но когда я снова задал себе вопрос ПОЧЕМУ она находится как сумма всех показателей, деленная на их кол-во, ушел в полный ступор, из которого, кстати, не выхожу.
Есть еще парочка примеров, но они не такие яркие.
Извините, что так много букв, но наболело, ибо надо мной все в основном смеются, к кому обращался за помощью (20 лет парню, а дибил такой), поэтому, очень прошу объяснить доступно операцию деления, которая по какой-то причине не вошла в базис много лет назад.
PS Примеры с дольками, например, апельсина, или дележки 12 пирожков между четырьями друзьями я прекрасно понимаю, однако, как только деление выходит за рамки подобных примеров, голова тихо офигевает.
Заранее спасибо.


О, забыл добавить.
Саму суть среднего арифметического, слава Богу, понимаю. Среднее между нижним и верхним значением. Я могу без труда найти, например, без этой формулы, например, среднее между 3,4 и 6,7. Просто посмотрев, что находится между ними, начертив, мысленно, например, шкалу. Между 4 и 5 - то же самое, получится 4,5, по той же самой мысленной шкале. Однако как только пытаюсь врубить в эту формулу, начинаю топтаться на месте, что, мол, вроде, близок к пониманию, а оно так и не наступает

 

[Trotil]

Здравствуйте!
Попробуем чисто формазированный подход. В нём нет ни яблок, ни груш, ни километров, а есть только математические объекты - числа.

Числа можно складывать, умножать. Еще их можно вычитать и делить, но эти операции являются производными от сложения и вычитания.

Операции сложения и умножения у вас затруднений не вызывает, поэтому не будем на них останавливаться.

Чтобы понять операцию деления, предлагаю провести аналогию с операцией вычитания. Смотрите.

Пусть a+b=c

Операция вычитания. Результатом операции вычитания над числами a и b будет некоторое число c, такое, что b+c=a.
Записывается a-b=c.
Пример 7-3 = ? Решение, поскольку 3 + 4 = 7, то 7 - 3 = 4.

Вот точно так же с операцией деления.
Результатом операции деления a/b будет число с такое, что bc = a.
Пример с грушами.
Пусть у нас 4 ящика по пять груш (20 груш всего).
Сколько будет 20/5? Ответ, поскольку в одном ящике пять груш, нужно взять 4 таких ящика, чтобы всего получилось 20. Поэтому 20/5 = 4.

Вопросы?
Если всё понятно, потом я расскажу дальше.

 

[KurtBandura]

Пока все ясно как божий день...

 

[Trotil]

Хорошо!

Теперь попробуем рассказать тоже самое, но используя понятия нейтральный и обратный элемент. Они удобно иллюстрируют разницу между сложением и вычитанием, а также между умножением и делением.

Нейтральный элемент по сложению - такой элемент, если его сложить, то число предметов и не увеличится, и не уменьшится. Короче не изменится. Понятно, что это число 0.

Для умножения таким числом является 1. Понятное дело, a*1*1*1 = a (сколько не умножай на 1, всё равно останется 0).

Обратный элемент по сложению - это такой элемент, который компенсирует число "а" в сложении. a + (-a) = 0.
По умножению а * (1/a) = 1. Здесь (1/a) - обратный элемент.

Хватит теории и непонятных терминов. Теперь попробуем объяснить вычитание и деление, опираясь на них. Начнём с вычитания.

В физике давно известны античастицы. Они влетают в некоторое тело и бац! Вещества в теле становится меньше, а не больше, как ни странно. Или еще, сообщение: вы выиграли "минус 50 руб"! Прибавляются эти минус 50 руб, а в кошельке стало на 50 рублей меньше.

Вычитание a-b представимо в виде сложения с элементом, обратному b:
То есть a - b = a + (-b).

И тогда легко ответить на вопрос: сколько будет a-b = с ? Что такое c?
Очень просто: с = a-b = a + (-b)

ЕСЛИ с + b = a + (-b) + b = a
Числа (-b) + b нейтрализуются и остаётся только а.

Разница между сложением и вычитанием как раз в этом минусе. Напоследок самостоятельно сравни два действия с числом а:
a + (b)
а + (-b).

Вот. Я не зря возился со сложением-вычитанием, ибо разница в умножении-делении точно такая же.

a * b - число "b" увеличивает число "а" в "b" раз.
a/b = a * (1/b) - число "b" уменьшает число "а" в "b" раз.

Числа b и (1/b) обратны друг к другу, одно число нейтрализует действие другого.

а * b * (1/b) = a. Если сначала увеличить, а затем уменьшить, ничего не изменится.

Пока всё. Вопросы?

 

[KurtBandura]

Уважаемый Trotil! Спасибо вам большое, благодаря вам, я понял, насколько это все просто и легко
С делением все теперь абсолютно ясно, как раз таки с помощью обратных чисел. Блин. Спасибо Вам огромное!
И все-таки я идиот, что этого не понимал ))

 

[Trotil]

Вот и отлично. А со средними арифметическими числами, не совсем понятно. что непонятно в них.

Пусть даны несколько чисел. a1, a2, a3, a4, ..., aN. Чисел может быть много, не обязательно два. Интересно как-то охарактеризовать этот ряд чисел одним числом, которое давало бы полезную информацию для всей совокупности чисел в целом.
Одна из числовых характеристик ряда - как раз среднее арифметическое (его еще называют математическим ожиданием или центральным моментом).

Итак, задачка такая - найти такое число А, чтобы им можно было заменить все числа a1..aN, но сумма при этом не изменится. То есть число А максимально "похоже" на эти числа.

То есть a1 + a2 + ... a_n = A + A + ... A (N раз)

Отсюда очевидно, что

a1 + a2 + ... a_n = A*N
(a1 + a2 + ... + a_n)/N = A

A = (a1 + a2 + ... + a_n)/N

-------------------

Чуть построже объяснение.
Даны числа a1, a2, a3, a4, ..., aN. Найти число, максимально похожее на них и дадим критерий этой максимальной похожести.

Нужно взять все разности

A-a1
A-a2
A-a3
A-a4

и сложить.

Разности показывают, насколько число А отличается от первого числа, от второго, от третьего и т.д.

Очень хорошо бы, если бы в итоге все эти разности дали в сумме 0 (скомпенсировались).

(A - a1) + (A - a2) + ... + (A - a_n) = 0
или, если раскрыть скобки, получим:
A + A + ... + A = a1 + a2 + ... + a_n
(то выражение, которое мы уже рассмотрели)

P.S. В математике также интересно выражение (A-a1)^2+(A-a2)^2+ (A-a_n)^2. Она показывает разброс величин а1..an. Эта числовая характеристка называется дисперсией.

 

[KurtBandura]

Спасибо Вам огромное! И тут все элементарно!
Только, кстати, теперь всплыл вопрос из другой рубрики.) Извините, если я вас задолбал...

Вот пример. Из рубрики нахождения части от числа и задач на проценты. Например, 25 % от какого-то числа равно 10. Надо найти число, от которого известен процент. Для этого надо 10 разделить на 0.25. (получим 40). Вот тут надо искать какую-то логику, или это все некая абстракция, строящаяся следующим образом.
0.25x = 10. По правилам умножения и деления x = 10/0.25. Я правильно понял логику, или это можно объяснить каким-то более приземленным, конкретным способом, там, с яблоками, грушами и пр.? Или вся логика следует только отсюда в данном конкретном примере?

 

[Trotil]

или это все некая абстракция, строящаяся следующим образом.
0.25x = 10

Ну да, по мне как проще всего представлять именно как такое уравнение, т.е. "неизвестное x есть некоторое число, которое при умножении на 0.25 будет давать 10".