Магические квадраты

[фра Чезаре]

Магические квадраты.

 

[Trotil]

Кстати, в математике под магическим квадратом подразумевается квадрат NxN, заполненный числами от 1 до N*N, где сумма чисел в каждой строке или столбце - одинакова. Причем это свойство должно выполняться и для главных диагоналей.
- если это свойство не выполняется для главных диагоналей, магический квадрат называется неполным
- если той же сумме чисел равна каждая ломанная диагональ, магический квадрат называется пандиагональным
Когда же пандиагональный квадрат еще и ассоциативный (сумма любых двух чисел, симметрично расположенных относительно центрального числа, равна 1+N*N), то в этом случае мы имеем дело с идеальным магическим квадратом.

Это я так, к сведению )))))

 

[Исаев]

Trotil! Откуда ты узнал о такой классификации магических квадратов? Я слышал лишь о латинских квадратах и дьявольских. Ну и еще какой-то Ло-Шу. Просвяти, пожалуйста! И примеры можно? Очень хотелось бы научиться их строить самому.

 

[Trotil]

Исаев
Информация с этого сайта:
http://renuar911.narod.ru/ideal_mk.html
Здесь есть ссылки на другие статьи: http://renuar911.narod.ru/Ideal_9_plus_18k.htm

Дьявольский - это упомянутый мной пандиагональный, латинский - это вообще к магическим квадратам отношение не имеющее...

 

[Леонсия]

Еще про магические квадраты можно почитать здесь.

 

[georgy]

Очень интересную статью по магическим квадратам (их называют идеальными) я увидел в http://renuar911.narod.ru/IMS_Alexandrov.html
Это что-то невообразимо сложное, но прекрасное. Разобралась с последними желтыми квадратами: у них все разломанные диагонали дают магическую сумму, и все пары центрально противолежащие числа дают одну и ту же величину! Прям магия в магии!

 

[Trotil]

Магические квадраты на сайте Натальи Макаровой:

http://klassikpoez.boom.ru/komp/magich.htm
http://klassikpoez.narod.ru/netradic.htm

(и далее по ссылкам на тех страницах)

Про идеальные квадраты на сайте Натальи Макаровой: http://www.klassikpoez.narod.ru/idealob.htm

 

[smirnova]

Всю ночь взахлеб читала роман с названием "Идеальные квадраты". Вообще-то я искала магический квадрат Дьюдени (слышали о таком? Это квадрат, который нужно разбить на четыре четырехугольника так, чтобы из них можно было сложить правильный треугольник). Вместо этого напала на магические квадраты, но ничуть не пожалела. Какое обилие способов построения идеалов нашли Макарова и Александров! Если первая применяла метод качелей и очень интересные преобразования, то второй - цепи Александрова. У Макаровой ходы самые различные, у ее коллеги - только кованые ходы конем. Какому же способу дать предпочтение? Хорошо помню цитату Эйлера, которую нам любил повторять препод по высшей математике: "Из ряда методов выигрывает тот, который дает общее решение". Вот тут пути явно рвсходятся. Александрову удалось одной маленькой программкой (проверила - работает) охватить махом все размеры квадратов. Макарова же каждый размер исследовала самостоятельно. Попытки объединить весь набор n у нее не получились. Спасибо авторам за предоставленное удовольствие!
Елена

 

[Trotil]

От модератора:

Давайте не будем здесь устраивать войну Георгия Александрова против Натальи Макаровой (на которую я уже насмотрелся на других ресурсах).

Если я хоть раз еще увижу, как Г.А. (и сподвижники) проталкивают свои работы, попутно считая себя пупом вселенной, тема будет серьезно почищена.

Оба творческих и увлекающихся человека должны сотрудничать, а не соревноваться, разве не так?..

Простым читателям абсолютно по барабану, кто автор метода, им интересны сами методы. Поэтому предлагаю товарищу Александрову и Ко. избавить эту ветку от подобных выпадов.

Предлагаю нейтрально сообщать о достижениях, о новых интересных результатах и найденных закономерностях.

 

[Nataly-Mak]

Совершенные магические квадраты

Увидела своё имя здесь и решила поучаствовать.
Предлагаю посмотреть мои последние статьи о совершенных магических квадратах. Начать с этой:
http://www.klassikpoez.narod.ru/soversh.htm
Не нашла в Сети ни одной статьи о совершенных квадратах на русском языке, пришлось работать со статьёй на английском языке, хотя не знаю языка (пользовалась переводом в Google).
Составлена программа для построения совершенного квадрата любого порядка из самого простого обратимого квадрата. Язык, на котором написана программа (QBASIC), позволил построить самый большой совершенный квадрат порядка n=120. Вы можете посмотреть его здесь:
http://www.klassikpoez.narod.ru/mk/sov120.TXT
Кстати, и идеальный квадрат 120-ого порядка тоже построен по программе (из обратимого квадрата; это ещё один метод построения идеальных квадратов). Он здесь:
http://www.klassikpoez.narod.ru/mk/id120.TXT
Благодарю за внимание.

 

[Nataly-Mak]

Товарищи!
А почему же забросили эту интереснейшую тему?
Предлагаю продолжить...
Я по-прежнему работаю над магическими квадратами, а также над латинскими. Написала множество новых статей. Сделала небольшую электронную книжку "Волшебный мир магических квадратов". Предлагаю посмотреть её:
http://narod.ru/disk/5834353000/Magic_squares.pdf.html
С удивлением обнаружида недавно, что книга эта попала во многие электронные библиотеки. Так что, вы можете скачать её в одной из таких библиотек.
Сейчас работаю над темой "Нетрадиционные магические квадраты". Вот две последни статьи по этой теме:
Нетрадиционные магические квадраты из простых чисел
Нетрадиционные магические квадраты из чисел Смита.
Недавно построила наименьший магический квадрат 6-го порядка из простых чисел, который внесён в Энциклопедию последовательностей:
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A164843
Так что, у меня теперь есть авторский магический квадрат.
А вчера построила наименьший магический квадрат 7-го порядка из простых чисел. Думаю, что это тоже мой авторский квадрат, потому что такой квадрат ещё никто не построил (если судить по данным Энциклопедии последовательностей).
Вот такие у меня новости о квадратах. А у вас есть новости?

 

[Женечка Франкенштейн]

Большое спасибо за вышеупомянутые исследования. Я решаю олимпиаду за 7-ой класс. В задании спрашивается, можно ли построить магический квадрат из 25 простых чисел?
Я отвечаю нет. Потому что предполагаю, что S=(сумма всех n)/5 - чётное число.
(Я сложила на калькуляторе). Оно не может быть составлено из 5-ти нечётных чисел, коими являются простые числа.
Правильно я решаю?

 

[Trotil]

руки Frau_Muller


41 11 79 19 83
31 67 29 89 17
61 59 05 71 37
97 53 13 47 23
03 43 107 7 73

 

[Женечка Франкенштейн]

Trotil
я некорректно дала условие - из первых 25 простых чисел.

 

[Trotil]

Из первых - очевидно, что нет.

Оно не может быть составлено из 5-ти нечётных чисел, коими являются простые числа.
Правильно я решаю?

Да, это доказывает. Но есть способ проще с той же идеей, но без сложения всех простых чисел.

 

[Женечка Франкенштейн]

Без сложения? Типа... из 25 чисел одно четное и 24 нечетных. Четная сумма нечётных чисел (24) - есть число чётное + 2 - тоже чётное.
А вот дальше я затрудняюсь...

 

[Trotil]

руки Frau_Muller

Четная сумма нечётных чисел (24)

Выше сказал - без сложения всех чисел!
В одной строке сколько чисел?

 

[Женечка Франкенштейн]

Trotil
Так я же их не складываю, я просто утверждаю, что будет чётное число в сумме.
В одной строке 5 чисел. Но я не знаю, почему сумма строки тоже чётное число.

 

[Trotil]

руки Frau_Muller

Если я что-то еще скажу, это уже будет законченное решение, а задача таки олимпиадная.

 

[Женечка Франкенштейн]

да, спасибо. Я и хочу сама решать, потому что это доставляет удовольствие.